Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án chi tiết

Bài tập dượt Tính đạo hàm của hàm số lũy quá, nón, logarit với đáp án

Một số bài xích tập dượt trắc nghiệm đạo hàm hàm nón và logarit với Lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}$

A. $y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$

C. $y'=\left( 4x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$ D. $y'=\left( 2x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\Rightarrow y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}.\ln 2.{{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\prime }}=\left( 4x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$ Chọn C.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

A. $y'=\left( 2x+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

C. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right){{e}^{{{x}^{2+x}}}}.$ D. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x+2 \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x{{\left( {{e}^{{{x}^{2}}+x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.\left( 2x+1 \right)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right).$ Chọn C.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{{{4}^{x}}}$

A. $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}$ B. $y'=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}$

C. $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$ D. $y'=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta với $y'=\frac{{{4}^{x}}-\left( {{4}^{x}} \right)'.\left( x+1 \right)}{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{2}}}=\frac{{{4}^{x}}-{{4}^{x}}\ln 4.\left( x+1 \right)}{{{4}^{2x}}}=\frac{{{4}^{x}}\left[ 1-2\left( x+1 \right)\ln 2 \right]}{{{4}^{2x}}}=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{4}^{x}}}$

Hay $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

A. $y'=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}.$ B. $y'=\frac{2x+1}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right).\ln 2}.$

C. $y'=\frac{\left( 2x+1 \right)\ln 2}{{{x}^{2}}+x+1}.$ D. $y'=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta với $y'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\prime }}}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}.$ Chọn D.

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}$

A. $y'=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ B. $y'=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

C. $y'=\frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ D. $y'=\frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta với $y=\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}={{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{\frac{1}{4}}}\Rightarrow y'=\frac{1}{4}{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{\frac{-3}{4}}}.\left( 4ax+4b{{x}^{3}} \right)$

$=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x \right).$ Tính $f'\left( 2 \right)$

A. $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}.$ B. $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}e.$ C.$f'\left( 2 \right)=\frac{3\ln 2}{2}.$ D. $f'\left( 2 \right)=\frac{2}{3\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta với $f'\left( x \right)=\frac{2x-1}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\ln 2}\Rightarrow f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2\ln 2}=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}e.$ Chọn B.

Ví dụ 7: Giá trị của thông số $m$ nhằm $y'\left( e \right)=2m+1$ với $y=\ln \left( 2x+1 \right)$ là:

A. $\frac{1+2e}{4e-2}.$ B. $\frac{1+2e}{4e+2}.$ C. $\frac{1-2e}{4e+2}.$ D. $\frac{1-2e}{4e-2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta với $y'=\frac{2}{2x+1}\Rightarrow y'\left( e \right)=\frac{2}{2e+1}=2m+1\Leftrightarrow \frac{2}{2e+1}-1=2m\Leftrightarrow \frac{1-2e}{2e+1}=2m\Leftrightarrow m=\frac{1-2e}{2+4e}.$

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( 2{{e}^{x}}+m \right)$ vừa lòng $f'\left( -\ln 2 \right)=\frac{3}{2}.$ Mệnh đề nào là sau đó là đúng?

A. $m\in \left( 1;3 \right).$ B. $m\in \left( -5;-2 \right).$ C. $m\in \left( 1;+\infty \right).$ D. $m\in \left( -1;0 \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{2{{e}^{x}}}{2{{e}^{x}}+m},$ lại sở hữu ${{e}^{-\ln 2}}={{2}^{-\ln e}}=\frac{1}{2}$

Do cơ $f'\left( -\ln 2 \right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{1+m}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+x \right),$ biết $y'\left( 1 \right)=\frac{a}{4}+\frac{1}{b\ln 3}$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Giá trị của $a+b$ là:

A. $a+b=2.$ B. $a+b=7.$ C. $a+b=4.$ D. $a+b=5.$

Xem thêm: phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{{{\left( {{3}^{x}}+x \right)}^{\prime }}}{\left( {{3}^{x}}+x \right)\ln 3}=\frac{{{3}^{x}}\ln 3+1}{\left( {{3}^{x}}+x \right)\ln 3}$

Suy rời khỏi $y'\left( 1 \right)=\frac{3\ln 3+1}{4\ln 3}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\ln 3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=7.$ Chọn B.

Ví dụ 10: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}.$ sành rằng $f'\left( 1 \right)=a\ln 2+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Tính $a-b.$

A. $a-b=1.$ B. $a-b=-1.$ C. $a-b=2.$ D. $a-b=-2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{{{\left[ \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]}^{\prime }}.x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}}$

Do cơ $f'\left( 1 \right)=1-\ln 2\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a-b=-2.$ Chọn D.

Ví dụ 11: Cho hàm số $y=\frac{\ln x}{x},$ mệnh đề nào là sau đây đúng?

A. $2y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ B. $y'+xy''=\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ C. $y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ D. $2y'+xy''=\frac{1}{{{x}^{2}}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $xy=\ln x\Rightarrow \left( xy \right)'=\left( \ln x \right)'\Rightarrow x'y+y'x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow y+xy'=\frac{1}{x}$

Tiếp tục đạo hàm 2 vế tớ có: $y'+y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( \sqrt[3]{3x+1} \right)$ bên trên tập dượt xác lập của chính nó

A. $\frac{1}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$ B. $\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}\ln 2}.$ C. $\frac{\ln 2}{3x+1}.$ D. $\frac{1}{3\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{\log }_{2}}\left( \sqrt[3]{3x+1} \right)=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)\Rightarrow y'=\frac{1}{3}.\frac{3}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}=\frac{1}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$ Chọn A.

Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[7]{\cos x}$ là:

A. $\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{8}}x}}.$ B. $\frac{\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ C. $\frac{1}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ D. $\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta với $y=\sqrt[7]{\cos x}={{\left( \cos x \right)}^{\frac{1}{7}}}\Rightarrow y'=\frac{1}{7}{{\left( \cos x \right)}^{\frac{-6}{7}}}.\left( \cos x \right)'=\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ Chọn D.

Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số $y=\ln \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}$

A. $y'=\frac{4x}{{{x}^{4}}-1}.$ B. $y'=\frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$ C. $y'=\frac{-4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.$ D. \[y'=\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.\]

Lời giải chi tiết:

Ta với $y=\ln \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}=\frac{2x\left( {{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}-1 \right)}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)}=\frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$

Chọn B.

Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}.{{\log }_{3}}x$ là:

A. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$ B. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{\ln 3} \right).$

C. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{\ln 3}{x} \right).$ D. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( {{\log }_{3}}x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3.lo{{g}_{3}}x+\frac{{{3}^{x}}}{x\ln 3}={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$ Chọn A.

Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{\sqrt{3}}}\left| {{x}^{2}}-1 \right|$ là:

A. $y'=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ B. $y'=\frac{4x}{\left| {{x}^{2}}-1 \right|\ln 3}.$

C. $y'=\frac{4x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ D. $y'=\frac{2x}{\left| {{x}^{2}}-1 \right|\ln \sqrt{3}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln \sqrt{3}}=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right).\frac{1}{2}\ln 3}=\frac{4x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ Chọn C.

Ví dụ 17: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x \right).$ Tính đạo hàm của hàm số \[y=\frac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\]

A. $y'=\frac{2x-2}{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}}.$ B. $y'=\frac{4-4x}{\left( {{x}^{2}}-2x \right){{\ln }^{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$

C. $y'=\frac{x-1}{2\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$ D. $y'=\frac{-4x+4}{\left( {{x}^{2}}-2x \right){{\ln }^{4}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=\frac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\Rightarrow y'=\frac{-{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{f}^{4}}\left( x \right)}=-\frac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{{{f}^{4}}\left( x \right)}=-\frac{2f'\left( x \right)}{{{f}^{3}}\left( x \right)}$

Trong cơ $f'\left( x \right)=\frac{2x-2}{{{x}^{2}}-2x}\Rightarrow y'=\frac{4-4x}{\left( {{x}^{2}}-2x \right).{{\ln }^{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$ Chọn B.

Xem thêm: feso4+k2cr2o7+h2so4