cấp số nhan

1. Cấp số nhân là gì?

Bạn đang xem: cấp số nhan

Cấp số nhân là 1 trong mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp cho số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp cho số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n\epsilon N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=3^{n}$ là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân $(u_{n})$ có 

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp cho số nhân

• $(u_{n})$ là 1 trong cấp cho số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

• Nếu một cấp cho số nhân $(u_{n})$ sở hữu số hạng đầu $(u_{1})$ và công bội q thì số hạng tổng quát lác $(u_{n})$ sẽ tiến hành tính bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp cho số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy thăm dò u₄

Lời giải: 

Ta có: u₂² = u₁ . u₃ = 3

          u₃² = u₂ . u₄

Từ (1) bởi u₂  > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

• Khi q = 0 thì mặt hàng sở hữu dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁ 

• Khi q = 1 thì mặt hàng sở hữu dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.

• Khi u₁ = 0 thì với từng q, cấp cho số nhân sở hữu dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao trọn vẹn cỗ kỹ năng và kiến thức về cấp cho số nhân

4. Tổng hợp ý những công thức tính cấp cho số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

• Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall  n \geq 1$

• Kết luận: 

• Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng u_n là cấp cho số nhân

• Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng u_n ko là cấp cho số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp cho số nhân sở hữu số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng thứ nhất.

Lời giải: 

Ta sở hữu 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n sở hữu số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

1. Tìm số hạng loại nhất

2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

1. Đặt r là công bội của cấp cho số nhân.

 Ta có: r^(5-2) = r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ cơ r = 5. 

$\Rightarrow$ u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

2. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang lại cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$. Dãy số U_n bên trên là cấp cho số nhân chính hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$ 

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp cho số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, thay đổi nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp cho số nhân U_n sở hữu U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tao có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân U_n sở hữu U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tao có: 

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang lại tía số x,y,z lập trở nên một cấp cho số nhân và tía số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp cho số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để thăm dò số hạng của cấp cho số nhân tao dùng công thức tính số hạng tổng quát lác U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁ và q  của cấp cho số nhân biết: 

Lời giải: 

Ví dụ 2: Bài mang lại cấp cho số nhân (u_n) với u₃ = 8 , u₅ = 32. Số hạng loại 10 của cấp cho số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (u_n), tao sở hữu $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tao sở hữu u₁₀ = u₃ . q^₇ = 8 . 2^₇ = 1024

Với q = -2, tao sở hữu u₁₀ = u₃ . q⁷= 8 . (-2)⁷ = -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (u_n), hiểu được số hạng thứ nhất u₁ = 3, công bội là 2. Hãy thăm dò số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tao sở hữu : u_n = u₁ . q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅ = u₁ . q⁴ =3 . 2⁴ = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất nhập dãy

Ta dùng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cấp cho số nhân:

$S = 2 + 6 + 18 + 13122$

Lời giải:

(u_n) sở hữu u₁=2 và q = 3. 

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang lại cấp cho số nhân (u_n) với

1. 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì? 

2. 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân (u_n) bên trên sở hữu tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

1. Dãy số là cấp cho số nhân là chính hoặc sai?

2. Tính S = u₂ + u₄ + u₆... + u₂₀

Lời giải: 

1. Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là 1 trong cấp cho số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$ 

   Xem thêm: giải bài tập tiếng việt lớp 5

2. Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u₂ = 9, q = 3 

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác toan những bộ phận cấu trúc nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang lại số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, thăm dò u₁ khi:

Lời giải: 

Ví dụ 2: Dãy số nào là là cấp cho số nhân: 

1. 1;0,2;0,04;0,008;...

2. 1,22,222,2222,...

3. X,2x,3x,4x,...

4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tao có: 

u₁ = 1, u₂ = u₁ . 0,2, u₃ = u₁ . (0,2)², u₄ = u₁ . (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tao chứng tỏ được u_n = (0,2)ⁿ

Khi cơ $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp cho số nhân sở hữu công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp cho số nhân (u_n) cần thiết thăm dò sở hữu công bội q, số hạng thứ nhất u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅)

= q . S₅

Mà S₅ = 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u1=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp cho số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn vẹn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện Toán trung học phổ thông với cỗ bí mật độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp cho số nhân (u_n) sở hữu công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp cho số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n = u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ - 1)(q - 1)

 Trong cơ s_n là tổng n số hạng thứ nhất của cấp cho số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp cho số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp cho số nhân lùi hạn

Đề bài bác mang lại cấp cho số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tao sở hữu tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên 

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng tía số hạng thứ nhất của mặt hàng số là $\frac{39}{25}$. Xác toan (u₁), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

6. Một số bài bác tập luyện cấp cho số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un sở hữu công bội q

1. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

2. Biết q= $\frac{2}{3}$, u₄ = $\frac{8}{21}$. Tính u₁

3. Biết u₁ = 3, q = -2. Xác toan số 192 là số hạng loại bao nhiêu nhập cấp cho số nhân?

Lời giải: 

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (u_n) biết cấp cho số nhân bao gồm sở hữu 5 số hạng và:

1. TH1: u₃ = 3 , u₅ = 27

2. TH2: u₄ – u₂ = 25 ,  u₃ – u₁ = 50

Lời giải: 

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân sở hữu sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là 1 trong,4%. hiểu rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là 1 trong,8 triệu con người, căn vặn với nút tăng bổng như thế thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm dân sinh tăng là 1 trong,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau hàng năm lập trở nên một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác mang lại u_n sở hữu những số hạng 0, tìm  u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$. Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải: 

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp cho số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài bác tập luyện kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo nhằm học tập và ôn tập luyện kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Xem thêm: cho hình chóp sabcd có đáy abcd là hình vuông

• Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân & bài bác tập
• Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài bác tập
• Xác suất của đổi mới cố
• Giới hạn của mặt hàng số