giới hạn của dãy số

1.  Lý thuyết giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn 0

Bạn đang xem: giới hạn của dãy số

Định nghĩa: Nếu với từng số dương nhỏ tùy ý  từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này bại trở cút, đều phải có độ quý hiếm vô cùng nhỏ rộng lớn số dương bại thì sản phẩm số (un) bại sở hữu số lượng giới hạn 0.

Tính chất:

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý:

$u_{n},v{n}:\left\{\begin{matrix} \left | u_{n} \right | \leq v_{n}\\ lim(v_{n})=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow lim \, u_{n}=0$

1.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn là sản phẩm số lim (un – L) = 0(L là số thực) 

Tính chất:  

• $u_{n}=c$, sở hữu số lượng giới hạn là c;

• $lim \,u_{n}=L \Leftrightarrow \left | u_{n}-L \right |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_{n}$ cho tới L trở thành nhỏ từng nào cũng rất được miễn sao n đầy đủ lớn

Nói một cơ hội hình hình ảnh Lúc N tăng thì những điểm $u_{n}$ “chụm lại” 

• Không nên sản phẩm số này cũng có thể có số lượng giới hạn hữu hạn

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$ thì tao sở hữu lăm le lý:

$lim\left | u_{n} \right |=\left | L \right |$ và $lim\sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}\geq 0$ với $\forall n$ thì $L\geq 0$ và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

• Nếu $lim\, u_{n}=L, lim\, v_{n}=M$ và c là một trong hằng số thì tao hoàn toàn có thể suy ra

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n},v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{L}{M}$(nếu $M\neq 0$)

1.3. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số dương tuỳ ý cho tới trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này bại trở cút, đều to hơn số dương bại thì tao gọi này là sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn $+\infty$

Hay tao hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=+\infty$ nhập tình huống $u_{n}$ hoàn toàn có thể to hơn một vài dương rộng lớn tuỳ ý, Tính từ lúc số hạng này bại trở đi

Tính chất: 

$lim\sqrt{u_{n}}=+\infty$

$lim\sqrt[3]{u_{n}}=+\infty$

$lim\,n^{k}=+\infty$ với một vài nguyên vẹn dương k cho tới trước

Trường thích hợp quánh biệt: $lim \, q^{n}=+\infty$

$lim \, q^{n}=+\infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số âm tuỳ ý cho tới trước, từng số hạng của sản phẩm số, Tính từ lúc một vài hạng này bại trở cút, đều nhỏ rộng lớn số âm bại thì tao trình bày này là sản phẩm số sở hữu số lượng giới hạn $-\infty$

Ký hiệu:  $lim \, u_{n}=-\infty$

Hay t hoàn toàn có thể hiểu, $lim \, u_{n}=-\infty$ nếu un hoàn toàn có thể nhỏ rộng lớn một vài âm nhỏ tùy ý.

Tính chất: 

$lim\, u_{n}=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_{n})=+\infty$

Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì un trở thành rộng lớn từng nào cũng rất được miễn n đầy đủ rộng lớn. Do bại $\left | \frac{1}{u_{n}} \right |=\frac{1}{\left [ u_{n} \right ]}$ trở thành nhỏ từng nào cũng rất được, miễn n đầy đủ rộng lớn. Nói cách tiếp, nếu như limun=+ thì lim 1un=0

• Định lý: Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì $lim\frac{1}{u_{n}}=0$

Tham khảo ngay lập tức cỗ tư liệu ôn tập dượt kỹ năng và kiến thức và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt nhập đề ganh đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các dạng toán về giới hạn của dãy số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn sản phẩm số được cho tới vì chưng công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$

Vì $lim\, n^{3}=+\infty$ và $lim(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}=1>0$ nên theo đòi quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+\infty$

Ví dụ 2: Tìm $lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=lim\sqrt[3]{8-\frac{3}{n}}=\sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3: 

a. Tìm $A=lim\frac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=\frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho tới vì chưng hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ được xác lập vì chưng $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với từng n ≥ 1. hiểu sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn, tính $lim\, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim\, u_{n}=L \Rightarrow L=lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ 

$\Rightarrow L^{2}-L-2=0\Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim\, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ sở hữu $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng cách thức quy hấp thụ tao minh chứng được $u_{n}>0 \forall n$

Tuy đề bài bác ko cung ứng tài liệu là sản phẩm số $(u_{n})$có số lượng giới hạn hữu hạn hay là không tuy nhiên nhìn đáp án đề bài bác cho đồng đều là những số lượng giới hạn hữu hạn. Nhớ bại, tao thể xác định được sản phẩm số $(u_{n})$ sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\, u_{n}=L\geq 0$

$lim\, u_{n+1}=lim\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=\frac{1}{2}(L+\frac{2}{L})\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^{2}=2\Rightarrow L=\sqrt{2}$

Vậy $lim\, u_{n}=\sqrt{2}$ 

Ví dụ 3: Cho sản phẩm số $(u_{n})$ xác lập vì chưng $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+\frac{1}{2}$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải: 

$v_{n}=u_{n}+\frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2u_{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2(u_{n}+\frac{1}{2})=2v_{n}$

$\Rightarrow (v_{n})$ là cung cấp số nhân sở hữu $v_{1}=\frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=\frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do bại $lim\, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+\infty$

2.3. Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Tính $lim\sqrt{n^{2}+2n}-n$ 

Lời giải: 

$lim(\sqrt{n^{2}+2n-n}=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+2}n)+(\sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(\sqrt{n^{2}+2n}+n)}=lim\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của $I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải: 

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-\sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515..., số a còn được trình diễn bên dưới dạng $a=\frac{m}{n}$, (m,n là những số nguyên vẹn dương). m + n =?

Lời giải: 

Ta có: $a=2,151515...=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$ là tổng của csn lùi vô hạn với $u_{1}=\frac{15}{100},q=\frac{1}{100}$

Xem thêm: phân tích nhân vật huấn cao trong tác phẩm chữ người tử tù

$\Rightarrow a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 \Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài cho tới số thập phân vô hạn tuần trả sở hữu dạng 0,32111... Cũng được ghi chép bên dưới dạng phân số tối giản là $\frac{a}{b}$ (a,b là những số nguyên vẹn dương). a - b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211...=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+...=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do bại, a - b = -611

Ví dụ 3: Tính $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]$

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

Vậy $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]=lim\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp lũy quá - mũ 

Ví dụ 1: $lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=lim\frac{4(\frac{4}{8})^{n}+36(\frac{6}{8})^{n}}{(\frac{5}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $lim\frac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

Đăng ký ngay lập tức sẽ được những thầy cô ôn tập dượt và kiến tạo suốt thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài bác tập dượt về giới hạn của dãy số kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên (Có điều giải)

Ví dụ 1: Xác lăm le những số lượng giới hạn cho tới lưới đây:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}=lim\frac{n(6-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=lim\frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6-9}{3-0}=2$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limn23+1n-5n2n23+2n=lim{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: lim(5ⁿ - 2ⁿ)

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(\frac{2}{5}^{n})$

Vì $lim5^{n}=+\infty$ và $lim(1-(\frac{2}{5}^{n})=1>0$ nên theo đòi quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+\infty$

Ví dụ 3: Tìm lim(3.2ⁿ⁺¹ - 5.3ⁿ + 7n) =?

Lời giải: 

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho sản phẩm số (u_n) xác lập u₁=0, u₂=1, u_n+1=2u_n-u_n-1+2 với từng $n\geq 2$. Tìm lim u_n?

Lời giải: 

Giả sử sản phẩm số bên trên sở hữu số lượng giới hạn hữu hạn gọi  là L

$\Rightarrow lim\,u_{n}=2lim\,u_{n}-lim\,u_{n-1}+2\Leftrightarrow L=2L-L+2\Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)

Vậy hoàn toàn có thể Dự kiến sản phẩm số sở hữu số lượng giới hạn vô rất rất. Nhìn nhập đáp án tao thấy sở hữu nhị đáp án vô rất rất ($-\infty$ và $+\infty$), vậy ko thể đoán là đáp án này. Ta coi nhị cơ hội giải sau.

Ta có: u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9. Vậy tao hoàn toàn có thể Dự kiến u_n = (n - 1)² với $\forall n\geq 1$. Khi bại, 

u_n+1 = 2u_n - u_n-1 +2 = 2(n - 1)² - (n - 2² + 2) = n²

= [(n - 1) - 1]²

Vậy $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $\forall n\geq 1$. Do bại, $lim\,u_{n}=lim(n-1)^{2}=+\infty$

Ví dụ 5: Cho sản phẩm số (u_n) với $u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2}$. Tìm lim u_n

Lời giải:

u_n là tổng n số hạng trước tiên của một cung cấp số nhân sở hữu $u_{1}=\frac{1}{2}$ và $q = \frac{-1}{2}$

Do bại $u_{n}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n}\Rightarrow lim\,u_{n}=lim\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{1}{3}$

Ví dụ 6: Tìm $lim\, u_{n}$, với $u_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}$

$\Rightarrow lim\, u_{n}=lim\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tìm $lim\frac{1+5+9+...+4n-3}{2+7+12+...+5n-3}$

Lời giải:

Tử thức là tổng của n số hạng trước tiên của cung cấp số nằm trong (u_n) với n = 1, u_n = 4n -3 và công bội d = 4

Do bại 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 = 

Tương tự động tao cũng có thể có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 = 

Như vậy 

Ví dụ 8: Tìm $D=lim\sqrt{n^{2}+2n}-\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}$ 

Lời giải:

Ta có: 

D = 

= 

= 

Ví dụ 9: Thực hiện nay tô điểm lại mái nhà của tôi, chú mèo Tom đưa ra quyết định tô color một miếng vải vóc hình vuông vắn cạnh vì chưng 1, mèo Tom tô color xám những hình vuông vắn nhỏ được khắc số theo thứ tự là một trong những, 2, 3,., n,.., hiểu cạnh của hình vuông vắn trước gấp rất nhiều lần cạnh hình vuông vắn sau nó (Giả sử tiến độ tô color của mèo Tom hoàn toàn có thể ra mắt vô hạn).

a. Xác lăm le u₁,u₂,u₃ và u_n

b. Tính lim $S_{n}$ với S_n=u₁+u₂+u₃+...+u_n

Lời giải:

a. $u_{1}=\frac{1}{4}, u_{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{4})=\frac{1}{4^{2}},..., u_{n}=\frac{1}{4^{n}}$

b. $lim S_{n}=lim14+142+...+14n=141-14=13$

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải: 

 Bài ghi chép bên trên tiếp tục trình làng cho những em phần lý thuyết cơ phiên bản và những dạng bài bác về giới hạn của dãy số. Đây là một trong phần kỹ năng và kiến thức khó khăn và cần thiết nhập lịch trình toán 11 nên nhằm đạt được thành phẩm cực tốt những em học tập cần được nắm vững lý thuyết và tập luyện tăng những dạng bài bác tập dượt. Các em học viên hoàn toàn có thể truy vấn nền tảng Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm luyện đề ngay lập tức ngày hôm nay nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

Xem thêm: ngành nào sau đây thuộc ngành công nghiệp năng lượng

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng