ham so lien tuc

1. Hàm số liên tiếp là gì?

Bạn đang xem: ham so lien tuc

Hàm số nó = f(x) gọi là hàm số liên tiếp bên trên khoảng chừng nếu như hàm số cơ liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong khoảng chừng cơ. Cụ thể rộng lớn, tớ đem khái niệm bao quát công cộng như sau:

Cho hàm số nó = f(x) xác lập bên trên $K,x_{0}\in K$. Khi cơ, nó = f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x)=f(x_{0})$.

Đồ thị hàm số liên tiếp đem dạng:

2. Hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Cho hàm số nó = f(x) xác lập bên trên (a;b) và $x_{0} \epsilon (a;b)$. Hàm số nó được gọi là hàm số liên tiếp bên trên 1 điều $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Ngược lại, nếu như hàm số $f(x_{0})$ ko liên tiếp bên trên $x_{0}$ thì Lúc cơ $x_{0}$ gọi là vấn đề con gián đoạn của f(x).

Nâng cao hơn nữa, nếu như tớ đem 2 hàm số nó = f(x) và nó = g(x) nằm trong liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$. Khi đó:

• $y=f(x) + g(x) . nó = f(x) - g(x) . y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

3. Hàm số liên tiếp bên trên một khoảng

Nếu hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên một khoảng chừng (a;b) thì Lúc cơ hàm số f(x) tiếp tục liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong (a;b). Đồ thị hàm liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) được màn trình diễn vày một đàng đường nét ngay tắp lự, không trở nên đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng xác lập của bọn chúng.

Ngoài đi ra, nếu như trang bị thị hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên khoảng chừng (a; b) và vừa lòng $ \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a); \underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ thì trang bị thị nó = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tiếp bên trên r

Hàm liên tiếp bên trên R là tình huống đặc biệt quan trọng của hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng.

Đối với một trong những hàm nhiều thức thì tiếp tục liên tiếp bên trên tập dượt R tuy nhiên ko cần thiết minh chứng, gồm những: dung lượng giác nó = sinx, nó = cosx, hàm nhiều thức, hàm phân thức đem tập dượt xác lập R, hàm nón.

Tham khảo ngay lập tức tư liệu tổ hợp kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài bác tập dượt độc quyền của VUIHOC ngay

5. Một số tấp tểnh lý cơ bạn dạng về hàm số liên tục

Để vận dụng giải những bài bác tập dượt tương quan cho tới hàm số liên tiếp, ngoài khái niệm những loại hàm số liên tiếp, học viên cần thiết tóm dĩ nhiên 3 tấp tểnh lý cơ bạn dạng sau đây:

Định lý 1: 

• Hàm số nhiều thức là loại hàm số liên tiếp bên trên tập dượt R.

• Hàm số thương của 2 nhiều thức (phân thức hữu tỉ) và những hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập dượt xác lập.

Định lý 2: Cho hàm số nó = f(x) và nó = g(x) là nhị hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$.

Ta có:

• $y=f(x) + g(x) . y=f(x) - g(x),y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

Định lý 3: Cho hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Tồn bên trên tối thiểu 1 điều c nằm trong đoạn (a;b) vừa lòng f(c) = 0. 

Định lý này thông thường dùng làm minh chứng sự tồn bên trên nghiệm của phương trình bên trên khoảng chừng chắc chắn.

Định lý 3 còn tồn tại một dạng khác ví như sau:

Cho hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Phương trình f(x) = 0 sẽ sở hữu được tối thiểu 1 nghiệm trong vòng (a;b).

6. Các dạng bài bác tập dượt về hàm số liên tiếp và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một điểm

Đây là dạng bài bác thông thường gặp gỡ nhập chuyên mục hàm số liên tiếp. Để xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điều, tớ tổ chức theo gót quá trình sau:

Bước 1: Tính độ quý hiếm $f(x_{0})$

Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

Bước 3: So sánh nhị độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$ với $f(x_{0})$ đang được tính ở bước 1, rồi Tóm lại.

• Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì học viên Tóm lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• Nếu giá chỉ trị $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ ko tồn tại  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) \neq 0$ thì học viên Tóm lại hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

Bước 4: Kết luận dựa trên đòi hỏi đề bài bác.

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên x = 1 của hàm số sau đây: 

$\left\{\begin{matrix}
\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x +2} & Lúc \, x \neq 1 \\ 
-3 & Lúc \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên R\{2} đem x = 1 và f(1) = -3

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)=-3$. Suy đi ra hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên $x_{0}=1$

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại đây bên trên điểm x = 1:

Giải:

Hàm số đề bài bác cho tới xác lập bên trên x = 1 và f(1) = 1

Tính số lượng giới hạn trái khoáy bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}1=1$

Tính số lượng giới hạn cần bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x) \neq \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)$ nên hàm số con gián đoạn bên trên x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp, minh chứng hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với dạng bài bác tập dượt này, học viên cần thiết vận dụng kết hợp 2 tấp tểnh lý 1 và 2 nhằm xét tính liên tiếp của hàm số đề bài bác bên trên từng khoảng chừng xác lập của chính nó. Nếu hàm số đang được cho tới xác lập, những em học viên nối tiếp xét tính liên tiếp bên trên những điểm đặc biệt quan trọng của hàm số cơ.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số tại đây liên tiếp bên trên khoảng chừng (-7;+)

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2} - x + 4, x \geq 2\\ 
\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7 - 3}}, -7 < x < 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm a, b sao cho tới hàm số sau liên tục:

$\left\{\begin{matrix}
1, x < 3\\ 
ax + b, 3 \leq x \leq 5\\ 
3, x > 5
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm ĐK hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Đây là dạng toán “tìm m” rất rất thông dụng trong số đề luyện thi đua và những đề đánh giá nhập lịch trình học tập phổ thông. Phương pháp giải dạng toán này bao gồm đem 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác lập $x_{0}$ của hàm số đề bài bác. Tính độ quý hiếm f(m) với $m = x_{0}$

Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số đề bài bác bên trên $x_{0}$

Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc và chỉ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Các em nằm trong xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số sau liên tiếp bên trên điểm x = 1

Giải:

Ta xét hàm số xác lập bên trên x = 1 và f(x) = -3m . 1 - 1.

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \underset{x\rightarrow 1}{lim}  \frac{(x -1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vậy, hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}=1$ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow -3m -1 \Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}$

Kết luận: $m=\frac{-2}{3}$ 

Ví dụ 2:

Giải:

Ta đem $\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -2^{+}}{lim}f(-2) \Leftrightarrow -2a - 1 = -11 \Leftrightarrow a=5$

Vậy độ quý hiếm a cần thiết dò thám là 5.

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô kiến tạo quãng thời gian và ôn tập dượt kỹ năng và kiến thức đạt 9+ ôn thi đua chất lượng tốt nghiệp THPT

6.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt xác định

Đối với những việc dò thám ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một quãng hoặc một tập dượt xác lập ngẫu nhiên, học viên thực hiện tương tự động dạng 3. Điểm khác lạ có một không hai là ở dạng 3 tớ dò thám điểm thực hiện hàm số xác lập, còn với dạng này tớ dò thám khoảng chừng đoạn hoặc tập dượt thực hiện cho tới hàm số xác lập.

Xem thêm: toán 8 tập 2 trang 47

Xét việc ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập dượt xác định:

Giải:

Tập xác lập của hàm số là R

Xét tình huống $x \neq 1$, hàm số đem dạng $f(x)=\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x-1}$. f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập dượt xác lập là $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$ bởi vậy f(x) cũng liên tiếp bên trên khoảng chừng $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

Xét tình huống x = 1 thì tớ đem f(1) = -3m - 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x-1)(5x - 2)}{x - 1}=3$

Khi cơ, hàm f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0} = 1$ Lúc và chỉ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow 3m - 1=3 \Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}$ 

Kết luận: $m=-\frac{4}{3}$ 

Ví dụ 2: Tìm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên $[0;+\infty)$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}, & 0 < x < 9\\ 
 m,& x=0\\ 
 \frac{1}{18m},&x\geq 9 
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tiếp của hàm số nhằm minh chứng phương trình đem nghiệm 

Ta nằm trong xét những ví dụ tại đây nhằm hiểu về phong thái phần mềm tính liên tiếp của hàm số minh chứng phương trình đem nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3x^{3} + 2x - 2 = 0$ đem nghiệm nhập (0; 1).

Giải:

Hàm số đề bài bác là hàm nhiều thức, vì thế f(x) liên tiếp bên trên R. Suy đi ra, f(x) cũng liên tiếp bên trên đoạn [0;1].

Ta có:

f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do vậy, đem tối thiểu 1 số ít c nhập (0; 1) sao cho tới f(c) = 0. Hay trình bày cách thứ hai, phương trình f(x) = 0 đem tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2x^{3} - 6x^{2} + 5 = 0$ trong vòng (-1;3) đem 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên R, bởi vậy f(x) liên tiếp bên trên những đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0

f(0) . f(2) < 0

f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài bác đem nghiệm trong số khoảng chừng (-1;0),(0;2) và (2;3).

Từ cơ tớ hoàn toàn có thể Tóm lại phương trình đem 3 nghiệm phân biệt trong vòng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tiếp nhằm xét vệt hàm số

Khi xét vệt hàm số đem vận dụng tính liên tiếp của hàm số, học viên cần dùng kết quả: “Nếu hàm số nó = f(x) là hàm liên tiếp và ko triệt chi tiêu bên trên [a;b] thì Lúc cơ đem vệt chắc chắn bên trên (a;b)”

Xét những ví dụ sau:

Ví dụ: Xét vệt của hàm số sau: $f(x)= \sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}$

Giải:

7. Một số bài bác tập dượt về hàm số liên tiếp kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải

Để thuần thục những dạng bài bác tập dượt hàm số liên tiếp, những em học viên nằm trong vuihoc giải những bài bác tập dượt rèn luyện sau đây!

Bài 1: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên điểm x = 0

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên x = 0 và f(0) = 2

Xét số lượng giới hạn trái khoáy bên trên điểm x = 0:

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x + \frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

Xét số lượng giới hạn cần bên trên x=0:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \frac{\sqrt{x + 4}-2}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x + 4}-2}{(\sqrt{x+4})^{2}-4}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}=$

Xét thấy, $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$ nhưng lại không giống f(0). Do cơ, hàm số ko liên tiếp bên trên x=0

Bài 2: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

Giải:

Trường phù hợp x < 0: f(x) = 2x - một là hàm số liên tục

Trường phù hợp x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tục

Từ cơ suy đi ra, tớ chỉ xét tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là hoàn toàn có thể Tóm lại tính liên tiếp của hàm số đề bài bác.

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x - 1)= -1$

Xét thấy $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=f(0) \neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$. Do cơ, hàm số con gián đoạn bên trên điểm x = 0.

Kết luận: hàm số ko liên tiếp bên trên tập dượt xác lập.

Bài 3: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn luôn tồn bên trên nghiệm nhập $[0; \frac{1}{3}]$ với từng $a \neq 0$ và vừa lòng ĐK 2a + 6b + 19c = 0

Giải:

Bài 4: Tìm độ quý hiếm a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên x = 2

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) tại đây liên tiếp bên trên R Lúc nào?

$y = f(x) = \left\{\begin{matrix}
2x + 3 & Lúc \, x\geq 1\\ 
m + 2 & Lúc \, x < 1 
\end{matrix}\right.$

Giải:

Dễ thấy hàm số đang được cho tới liên tiếp với từng x không giống 1

Vì vậy nhằm hàm số liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$ thì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim} f(x) =  f(1) \Leftrightarrow 5 = m + 2 \Leftrightarrow m=3$

Vậy với m = 3 thì hàm số đang được cho tới liên tiếp trên $\mathbb{R}$

Bài ghi chép bên trên trên đây đang được tổ hợp toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác tập dượt cơ bạn dạng của hàm số liên tục trong lịch trình toán lớp 11. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục nắm rõ khái niệm và những tấp tểnh lý nhằm vận dụng thực hiện bài bác tập dượt. Để học tập tăng nhiều kỹ năng và kiến thức Toán trung học phổ thông hữu dụng, những em hãy nhớ là truy vấn Vuihoc.vn hoặc tương tác trung tâm tương hỗ nhằm phanh đi ra cánh cổng trí thức đoạt được kỳ thi đua trung học phổ thông Quốc gia tới đây nhé!

Bài ghi chép hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm thêm:

Giới hạn của mặt hàng số

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa và chân thành và ý nghĩa của đạo hàm

Xem thêm: anh 9 unit 1 skills 2