lượng giác hóa số phức

1. Định nghĩa Acgumen của số phức

Bạn đang xem: lượng giác hóa số phức

• Cho số phức z≠0. Với M là vấn đề vô mặt mày phẳng lặng phức màn trình diễn số z. Một acgumen của z được hiểu là số đo (rađian) của từng góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.

• Như vậy nếu như j là 1 trong acgumen của z thì từng acgumen đều phải sở hữu dạng: $\psi +2k\pi ,k\epsilon Z$

2. Dạng lượng giác của số phức

2.1 Định nghĩa

Dạng z= r(cosφ+isinφ), vô ê r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z≠0. Còn dạng z=a+bi (a, b∈R) được gọi là dạng đại số của số phức z.

Trong đó: 

• r: là tế bào đun của số phức

• φ: là acgumen của số phức

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức lịch sự phía trên lịch sự dạng lượng giác: 

a. $z_{1}=6+6i$

b. $z_{1}=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$

c. $z_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{4}+\frac{5}{2}i$

Lời giải:

Ví dụ 2: Xác lăm le phần thực và phần ảo của những số phức sau: 

a, $\frac{\left ( 1-i \right )^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $\left ( cos\frac{\pi }{3} -isin\frac{\pi }{3}\right )i^{-5}(i+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

2.2. Nhận xét

Để mò mẫm dạng lượng giác r (cosφ+i sinφ) của số phức z=a+bi (a,b∈R) không giống 0 mang đến trước, tao cần: 

1) Tìm r: này là mô-đun của z, r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; số r này cũng là khoảng cách kể từ gốc O tới điểm M màn trình diễn số z vô mặt mày phẳng lặng phức.

2) Tìm φ: ê là một trong acgumen của z; φ là số thực sao mang đến cosφ= ar và sinφ=br; số φ này cũng là số đo 1 góc lượng giác của tia đầu Ox, tia cuối OM.

2.3. Chú ý 

1, |z|=1 Lúc và chỉ Lúc z=cosφ+isinφ (φ∈R).  

2, Khi z = 0 thì |z|=r=0 tuy nhiên acgumen của x ko xác lập (acgumen của 0 là số thực tùy ý). 

3, Cần nhằm ý r>0 vô dạng lượng giác r(cosφ+isinφ) của số phức z≠0.

Nắm trọn vẹn kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích luyện với cỗ tư liệu độc quyền của VUIHOC ngay

3. Bài luyện nhân phân chia số phức bên dưới dạng lượng giác

3.1. Định lý

Nếu: z=r(cosφ+isinφ)

        z′=r′(cosφ′+isinφ′)(r⩾0,r′⩾0)

Thì: zz′=rr′[cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′)

       zz'=rr'[cos(φ′−φ)+isin(φ′−φ)] (khi r>0)

3.2. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Biến thay đổi số phức sau lịch sự dạng lượng giác: z = $\left ( 1-i\sqrt{3} \right ).\left ( 1+i \right )$

Lời giải:

Có: $1-i\sqrt{3}=2.\left [ cos(-\frac{\pi }{3})+isin(-\frac{\pi }{3}) \right ]$

$1+i=\sqrt{2}\left [ cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4} \right ]$

Áp dụng công thức nhân, phân chia số phức tao được:

z=$(1-i\sqrt{3})(1+i)=2\sqrt{2}\left [ cos(-\frac{\pi }{2})+isin(-\frac{\pi }{2})\right]$

Ví dụ 2: Biến thay đổi số phức sau bên dưới dạng: z= $\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}$

Lời giải:

$\sqrt{3}+i=2(cos\frac{\pi }{6}+isin\frac{\pi }{6})$

2 + 2i =$2\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

=> $\left ( \sqrt{3}+1\right )(2+2i)=4\sqrt{2}(cos\frac{5\pi }{12}+isin\frac{5\pi }{12})$

Lại có: 1- i =$\sqrt{2}(cos\left ( -\frac{\pi }{4} \right )+isin(-\frac{\pi }{4}))$

Suy ra: z=$\frac{1-i}{(\sqrt{3}+i)(2+2i)}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}.\left [ cos(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12}) \right ]+isin(-\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{12})$

=$\frac{1}{4}\left [ cos(-\frac{2\pi }{3})+isin(-\frac{2\pi }{3})\right ]$

4. Công thức Moivre và ứng dụng

4.1. Công thức Moivre

Với từng n∈N* tao có:

$\left [ r(cos\varphi  )+isin\varphi\right ]^{n}=r^{n}(cos\varphi  +isin\varphi )$

Khi r=1 ta có: 

(cosφ+i sin φ)n=cos nφ+isin nφ

Hai công thức này được gọi là công thức Moivre

Ví dụ minh họa: 

Ví dụ 1: Biến thay đổi số phức sau lịch sự dạng lượng giác: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}$

Lời giải:

$\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$

Do đó: z=$(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)^{10}=\left [ 2.(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4}) \right ]^{10}$

=$2^{10}(cos\frac{10\pi }{4}+isin\frac{10\pi }{4})=2^{10}(cos\frac{5\pi }{2}+isin\frac{5\pi }{2})$

Ví dụ 2: Biến thay đổi số phức sau lịch sự dạng lượng giác: z=$\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức sau: z=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}i^{5})(1+\sqrt{3}i)^{7}$. Tìm phần ảo của số phức.

Lời giải: 

Ta có: $1+\sqrt{3}i=2.(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) $ và $i^{4}=1$

$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3})i^{5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

=$(cos\frac{\pi }{3}-isin\frac{\pi }{3}).i.\left [ 2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3}) \right ]^{7}$

=$2^{7}(cos(-\frac{\pi }{3}+isin(-\frac{\pi }{3})).i(cos\frac{7\pi }{3}+isin\frac{7\pi }{3})$

=$2^{7}\left [ cos2\pi +isin2\pi  \right ]i=2^{7}i$

Vậy phần ảo vì thế $2^{7}$=128

4.2. Ứng dụng vô lượng giác

Ta với công thức khai triển lũy quá bậc 3 của nhị thức cosφ+isinφ mang đến ta:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi +i(3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi )$

Mặt không giống theo gót công thức Moivre:

$(cos\varphi +isin\varphi )^{3}=cos3\varphi =isin3\varphi $

Từ ê suy ra:

$cos3\varphi =cos^{3}\varphi -3cos\varphi sin^{2}\varphi =4cos^{3}\varphi -3cos\varphi $

$sin3\varphi =3cos^{2}\varphi sin\varphi -sin^{3}\varphi =3sin\varphi -4sin^{3}\varphi $

Tương tự động, bằng phương pháp so sánh công thức khai triển lũy quá bậc n của nhị thức cosφ+i sinφ với công thức Moivre, tao rất có thể màn trình diễn cos nφ và sin nφ theo gót những lũy quá của cosφ và sinφ. 

4.3. Căn bậc nhì của số phức dạng lượng giác

Từ công thức Moivre, hay thấy số phức z=r(cosφ+isinφ),r>0 với 2 căn bậc nhì là:

$\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})$ và $-\sqrt{r}(cos\frac{\varphi }{2}+isin\frac{\varphi }{2})=\sqrt{r}(cos(\frac{\varphi }{2}+\pi )+isin(\frac{\varphi }{2}+\pi ))$

Ví dụ 1: Căn bậc nhì của số phức z = 5 + 12i là thành quả nào là sau đây?

A. $z_{0}=3+2i,z_{1}=3-2i$

B. $z_{0}=3-2i,z_{1}=-3+2i$

C. $z_{0}=2-3i,z_{1}=-2+3i$

D. Một thành quả khác 

Lời giải: 

Gọi v=x+iy là căn bậc nhì của z, tao có:

$v^{2}=z\Leftrightarrow (x+iy)^{2}=5+12i$
$\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}+2xy=5+12y$

Vậy z=5+12i với căn bậc nhì là $z_{0}=3+2i$, $z_{1}=-3-2i$

=> Chọn A

Ví dụ 2: Căn bậc nhì của số phức 4 + 65i là: 

Xem thêm: jason told me that he

Lời giải: 

Giả sử v là 1 trong căn bậc nhì của $4+6\sqrt{5}i$. Ta có:

$v^{2}=4+6\sqrt{5}i\Leftrightarrow w^{2}=(3+\sqrt{5}i)^{2}\Leftrightarrow w=\pm (3+\sqrt{5})i$

Đăng ký ngay lập tức và để được thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến thức và xây cất quãng thời gian ôn thi đua tương thích, đạt hiểu trái khoáy chất lượng tốt nhất!

5. Một số dạng lượng giác của số phức thông thường bắt gặp và ví dụ minh hoạ

5.1. Dạng 1: Chuyển số phức về dạng lượng giác

Cho số phức: z=a+bi, ghi chép z bên dưới dạng z=r(cosφ+isinφ)

• Phương pháp: 

Bước 1: Tính r=$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Bước 2: Tính φ vừa lòng $cos\varphi =\frac{a}{r},sin\varphi =\frac{b}{r}$ 

• Lưu ý:

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức sau lịch sự dạng lượng giác:

a, 5

b, -7

c, 6i

d, -10i 

Lời giải:

a, 5 = 5(1+0i) = 5(cos0+i sin0)

b, -7 = 7(-1+0i) = 7(cos$\pi $+sin$\pi $i)

c, 6i=6(0+i)=6(cos$\frac{\pi }{2}$+isin$\frac{\pi }{2}$)

d, -10i=10(0-i)=10(cos$-\frac{\pi }{2}$+isin$-\frac{\pi }{2}$)

Ví dụ 2: Biến thay đổi những số phức sau lịch sự dạng lượng giác:

a, $(1+3i)(i+2i)$

b, $(1+i)\left [ 1+(\sqrt{3}-2) i\right ]$

c, $(\sqrt{2}-2i)\left [ \sqrt{2} +(3\sqrt{2}-4)i\right ]$

Lời giải:

Ví dụ 3: Biến thay đổi những số phức sau lịch sự dạng lượng giác:

a, $1+\frac{i}{\sqrt{3}}$

b, $1+\sqrt{3}+(1-\sqrt{3})i$

Lời giải: 

Ví dụ 4: Biến thay đổi những số phức sau lịch sự dạng lượng giác:

a, $\frac{1}{2+2i}$

b, $\frac{3-i}{1-2i}$

c, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$

Lời giải: 

5.2. Dạng 2: Tính độ quý hiếm, rút gọn gàng biểu thức

Phương pháp: 

Sử dụng những luật lệ toán nằm trong, trừ, nhân, phân chia số phức, công thức Moivre nhằm tính độ quý hiếm và rút gọn gàng biểu thức.

Ví dụ 1: Tính số phức sau: z=$\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}+1)^{5}}{(-1-i\sqrt{3})^{10}}$

Lời giải: 

Vdụ 2: Giải phương trình: $z^{5}+z^{4}+x^{3}+x^{2}+z+1=0 (1)$

Lời giải: 

(1) <=> $z^{4}(z+1)+z^{2}(z+1)+(z+1)=0$

<=>  $(z+1)(z^{4}+z^{2}+1)=0$

<=> z= -1 hoặc $(z^{4}+z^{2}+1)=0$

Xét phương trình:

Tóm lại, phương trình với toàn bộ 5 nghiệm: $z=-1,z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

6. Một số bài xích luyện dạng lượng giác của số phức và cách thức giải

Ví dụ 1: Biến thay đổi những số phức sau lịch sự dạng lượng giác: 

a, $(1-i)(1+i)$

b, $\frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}$ 

c, $\frac{1}{2+2i}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Xác lăm le phần thực và phần ảo của từng số phức sau: 

a, $\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^{9}}$

b, $(cos\frac{\pi }{6}-isin\frac{\pi }{6})i^{-5}(1+\sqrt{3}i)^{7}$

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho số phức: z =$1-cos\frac{\pi }{8}+i.sin\frac{\pi }{8}$. Tính $z^{1012}$

Ví dụ 4: Gọi S là hội tụ những số nguyên vẹn n và $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$ sao mang đến số phức $z=(1+i\sqrt{3})^{n}$ là số thực. Số thành phần của luyện S là? 

Lời giải: 

Ta có: $1+i\sqrt{3}=2(cos\frac{\pi }{3}+isin\frac{\pi }{3})$

z=$2^{n}(cos\frac{n\pi }{3}+isin\frac{n\pi }{3})$

Để $z\epsilon \Rightarrow 2^{n}sin\frac{\pi }{3}=0\Rightarrow sin\frac{\pi }{3}=0$

 ⇒ n phân chia không còn mang đến 3 và n nguyên vẹn dương $n\epsilon \left [ 1;10 \right ]$

⇒ $n\epsilon \left \{ 3;6;9 \right \}$

Tập S với thân phụ phần tử

Ví dụ 5: Tìm số phức z sao mang đến $z^{5},\frac{1}{z^{2}}$ là nhì số phức liên hợp?

Lời giải:

Trên đó là toàn cỗ lý thuyết và những dạng lượng giác của số phức. Để đạt được thành quả cực tốt những em cần thiết thực hiện thêm thắt nhiều hình thức bài xích luyện không giống. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên rất có thể giải những bài xích luyện kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện nhằm học tập và ôn luyện nhiều hơn thế những phần kỹ năng và kiến thức lớp 12 đáp ứng ôn thi đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cơ hội giải những dạng bài xích luyện cơ bản

Xem thêm: sản phẩm của phản ứng nhiệt phân kno3 là