số nguyên là số gì

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng người sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên là số gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm rời rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát mắng GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng SL(n)
  • Trực gửi gắm O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực gửi gắm quan trọng SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp gửi gắm hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một số trong những rất có thể được ghi chép nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong những lúc 9,75, 5 1/2 ko nên là số vẹn toàn.

Tập hợp ý những số vẹn toàn bao hàm 0, những số ngẫu nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch tặc hòn đảo phép tắc nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp ý những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn đem viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 tụ hội con cái của tụ hội những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 tụ hội con cái của tụ hội những số thực . Giống như tụ hội những số ngẫu nhiên, là tụ hội vô hạn kiểm đếm được.

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành group nhỏ nhất và vòng nhỏ nhất chứa chấp những số ngẫu nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn thỉnh thoảng được xem như là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát mắng rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng rất có thể được dùng làm biểu thị những tụ hội không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong những lúc những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc mang đến {–1, 1}. Bên cạnh đó, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. vậy nên nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì nên khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một số trong những bài bác việc minh chứng quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại chuồn tình huống không giống ko.Chúng tao nên địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 tụ hội số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên những khi tất cả chúng ta mang đến đề nhưng mà đem sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn rất có thể được xem như là những điểm rời rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị bởi vì blue color lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống tựa như những số ngẫu nhiên, là tụ hội đóng góp với những phép tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số vẹn toàn ngẫu nhiên là một số trong những vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không như những số ngẫu nhiên, cũng chính là tụ hội đóng góp với phép tắc trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành một vòng đơn vị chức năng, vốn liếng là vòng cơ bạn dạng nhất, theo đuổi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên vòng đơn vị chức năng nào là, đều sở hữu một phép tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số vẹn toàn vô vòng này. Thuộc tính phổ quát mắng này, rõ ràng là 1 đối tượng người sử dụng thuở đầu vô loại vòng, là đặc thù mang đến vòng .

ko đóng góp với phép tắc phân tách, vì như thế thương của nhị số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân tách mang đến 2) rất có thể ko là số vẹn toàn. Mặc mặc dù những số ngẫu nhiên là đóng góp với phép tắc lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì sản phẩm rất có thể là 1 phân số khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một số trong những đặc thù cơ bạn dạng của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, bc:

Tính hóa học của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính gửi gắm hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn độc nhất đem thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −11.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)  (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không đem ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác minh rằng là 1 group abel với phép tắc nằm trong. Nó cũng là 1 group cyclic, vì như thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều rất có thể được ghi chép bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với phép tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo đuổi tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn nào là đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với phép tắc nhân là 1 monoid gửi gắm hoán. Tuy nhiên, ko nên từng số vẹn toàn đều sở hữu nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Có nghĩa là với phép tắc nhân ko nên là 1 group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc nhân là 1 vòng gửi gắm hoán đem thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn hình mẫu của toàn bộ những đối tượng người sử dụng của cấu tạo đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những mang đến toàn bộ những độ quý hiếm của vươn lên là, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên vòng gửi gắm hoán đem đơn vị chức năng nào là. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một số trong những vòng chắc chắn.

Việc thiếu hụt những ước số của 0 trong số số vẹn toàn (thuộc tính sau cuối vô bảng) Có nghĩa là vòng gửi gắm hoán là 1 miền vẹn toàn.

Việc thiếu hụt những phép tắc nghịch tặc hòn đảo của phép tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko nên là đóng góp với phép tắc phân tách, Có nghĩa là không phải là 1 ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một vòng con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình kiến thiết những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn rất có thể được làm theo sẽ tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn nào là. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), vòng số vẹn toàn của chính nó rất có thể được trích xuất, bao hàm như thể vòng con cái của chính nó.

Mặc mặc dù phép tắc phân tách thường thì ko được khái niệm bên trên , phép tắc phân tách "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là phép tắc phân tách Euclid, và đem đặc thù cần thiết sau: mang đến nhị số vẹn toàn ab với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn qr độc nhất sao mang đến a = q × b + r0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thươngr được gọi là phần dư của phép tắc phân tách a mang đến b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng một chuỗi những phép tắc phân tách Euclid.

Một lần tiếp nữa, vô ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 vòng Euclid. Như vậy ý niệm rằng là 1 vòng ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng rất có thể được ghi chép bên dưới dạng tích của những số nhân tố theo đuổi một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là tấp tểnh lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 tụ hội đem trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nế như đó to hơn 0 và âm nế như đó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương quí với những phép tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < bc < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao Kết luận rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 vòng đem trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel đem trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất đem những thành phần dương được bố trí theo đuổi trật tự hợp lý và phải chăng.[11] Như vậy tương tự với tuyên tía rằng ngẫu nhiên vòng Đánh Giá Noether nào thì cũng là 1 ngôi trường — hoặc một vòng định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to lớn 5
Các điểm red color thể hiện nay những cặp số ngẫu nhiên đem trật tự. Các điểm red color được links là những lớp tương tự thay mặt cho những số vẹn toàn blue color lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường tè học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan lại là những số ngẫu nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số ngẫu nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này dẫn theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi phép tắc toán số học tập rất cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc minh chứng rằng những số vẹn toàn tuân theo đuổi những tấp tểnh luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do bại, vô toán học tập lý thuyết tụ hội văn minh, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được cho phép người tao xác lập những phép tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống nào là thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do bại, những số vẹn toàn rất có thể được kiến thiết đầu tiên tựa như những lớp tương tự của những cặp số ngẫu nhiên đem trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là ghi chép tắt của sản phẩm của phép tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 24 − 5 biểu thị nằm trong một số trong những, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: mặt trời mọc đằng nào

chỉ khi

Phép nằm trong và phép tắc nhân những số vẹn toàn rất có thể được khái niệm theo đuổi những phép tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự đem (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc phép tắc nghịch tặc hòn đảo của phép tắc cộng) của một số trong những vẹn toàn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do bại phép tắc trừ rất có thể được khái niệm là phép tắc cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của phép tắc cộng:

Thứ tự động chi tiêu chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

khi và chỉ khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy thuộc vào việc lựa lựa chọn thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự mang trong mình 1 member độc nhất đem dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số ngẫu nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số ngẫu nhiên được nhúng vô những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp sót lại và mang đến lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do bại, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số ngẫu nhiên được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng phép tắc nhúng được thưa ở trên), thì quy ước này sẽ không đưa đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này bình phục màn trình diễn thân thuộc của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm kiến thiết những số vẹn toàn được dùng bởi vì những máy thăm dò tấp tểnh lý tự động hóa và những dụng cụ ghi chép lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được kiến thiết bằng phương pháp dùng một vài ba phép tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, rất có thể, dùng những số ngẫu nhiên, được giả thiết là đang được kiến thiết (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội kiến thiết những số vẹn toàn đem vệt.[16] Các cấu tạo này không giống nhau theo đuổi một số trong những cách: con số những phép tắc toán cơ bạn dạng được dùng mang đến cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những phép tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng ngắt mặt mũi của những số ngẫu nhiên thực hiện đối số của một số trong những phép tắc toán này và thực tiễn là những phép tắc toán này còn có nên là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là nằm trong một số trong những vẹn toàn rất có thể được màn trình diễn chỉ bởi vì một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật kiến thiết những số vẹn toàn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống rõ ràng vô bại mang trong mình 1 cặp phép tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số ngẫu nhiên và trả về một số trong những vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số vẹn toàn 0 rất có thể được ghi chép là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật kiến thiết này được dùng bởi vì trợ lý minh chứng Isabelle; song, nhiều dụng cụ không giống dùng những nghệ thuật kiến thiết thay cho thế, xứng đáng xem xét là những nghệ thuật dựa vào những cấu tạo tự tại, đơn giản và giản dị rộng lớn và rất có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là 1 loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ rất có thể thay mặt cho 1 tụ hội con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì như thế PC thực tiễn đem dung tích hữu hạn. Bên cạnh đó, vô màn trình diễn phép tắc bù nhị thịnh hành, khái niệm cố hữu của vệt phân biệt thân thiện "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc hẳn rằng PC rất có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn đem thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc tụ hội con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một số trong những ngữ điệu thiết kế (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn trình diễn số vẹn toàn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, rất có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn nào là vừa phải với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được tổ chức thực hiện với độ cao thấp thắt chặt và cố định, thông thường là một số trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ hội những số vẹn toàn bởi vì 0 (aleph-null). Điều được đơn giản dễ dàng minh chứng bằng sự việc kiến thiết một tuy nhiên ánh, bại là 1 hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó đánh giá hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao đánh giá hàm sau:

Xem thêm: nguyên nhân bạo lưc học đường

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của mang trong mình 1 và duy nhất thành phần ứng của và theo đuổi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tụ hội này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to lớn Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to lớn Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to lớn Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.